Question

一道高中数学关于椭圆方程的解析几何题目

椭圆x²/12+y²/3=1的焦点为F¹和F²,点P在椭圆上，如果线段PF¹的中点在y轴上，那么丨PF¹丨是丨PF²丨的多少倍
我知道答案是7倍哦 我要的是要具体的计算过程，包括原理，好的话追加分

Answer 1

设p坐标（x，y）
因为线段PF¹的中点在y轴上
所以x-（-3）=2*3
x=3
y=√3\2
所以丨PF¹丨=√36.75
丨PF²丨=√0.75
所以7倍

Answer 2

a^2=12，b^2=3 ，c^2=a^2-b^2=9 ，
所以 c=3 ，
则F1(-3，0) ，因为PF1中点在y轴上，因此P横坐标为 x=3 ，
由此得 PF2丄F1F2 ，设 |PF1|=m，|PF2|=n ，
由 m+n=2a=4√3 ，m^2-n^2=(2c)^2=36 得
m-n=(m^2-n^2)/(m+n)=3√3 ，
所以解得 m=7√3/2 ，n=√3/2 ，
因此 |PF1|：|PF2|=m：n=7：1 ，
即 |PF1|=7|PF2| 。

Answer 3

PF1+PF2=2a=4根号3
设PF1中点为M，
由题M在y轴上，O为坐标原点
所以OM是中位线，OM//PF2
因为OM垂直x轴
所以PF2垂直x轴
设PF2=t。则PF1=4根号3-t,
F1F2=6
根据勾股定理
PF2^2+F1F2^2=PF1^2
所以解得t=(根号3)/2,
PF1=7*（根号3）/2
PF1是PF2的7倍