Question

计算x^2*ydxdy的二重积分，其中D是由x^2-y^2=1及y=0,y=1所围成的平面区域。

Answer 1

2/15(4倍根号2-1） 答案倒是这个，不过没太弄懂，自己算的与答案符号相反。大致步骤是要用y用x表示，积分，x是两段的（0,1），（1，根号2） 我也是偶然间遇到此题发现楼上答案不对以免误导

Answer 2

∫∫_D x²y dxdy
= _D₁ x²y dxdy + ∫_D₂ x²y dxdy
= ∫(0→1) dy ∫(0→-√(1 + y²)) x²y dx + ∫(0→1) dy ∫(0→√(1 + y²) x²y dx
= ∫(0→1) [y · x³/3 |(0→-√(1 + y²)) + y · x³/3 |(0→√(1 + y²))] dy
= (1/3)∫(0→1) [- y(1 + y²)^(3/2) + y(1 + y²)^(3/2)] dy
= 0

Answer 3

∫_D x²y dxdy

= _D₁ x²y dxdy + ∫_D₂ x²y dxdy

= ∫(0→1) dy ∫(0→-√(1 + y²)) x²y dx + ∫(0→1) dy ∫(0→√(1 + y²) x²y dx

= ∫(0→1) [y · x³/3 |(0→-√(1 + y²)) + y · x³/3 |(0→√(1 + y²))] dy

= (1/3)∫(0→1) [- y(1 + y²)^(3/2) + y(1 + y²)^(3/2)] dy

= 0

扩展资料

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。