Question

求解一道高数三重积分题目

Answer 1

一、用柱面坐标，区域表示为：0≤θ≤2π，0≤ρ≤√3，1/3ρ^2≤z≤√(4-ρ^2)。积分∫∫∫zdv＝∫(0到2π)dθ∫(0到√3)ρdρ∫(1/3ρ^2到(4-ρ^2))zdz＝13π/4
二、比第一种做法简单是用直角坐标，“先二后一”的积分顺序，先对xy积分再对z积分，积分∫∫∫zdv＝∫(1到2)zdz∫∫(x^2+y^2≤4-z^2) dxdy＋∫(0到1)zdz∫∫(x^2+y^2≤3z) dxdy＝∫(1到2) z*π(4-z^2)dz＋∫(0到1) z*π(3z)dz＝13π/4

追问

我觉得第二种更难理解啊

追答

教材上有

追问

（x^2+y^2≤4-z^2)是应该放在ff下面么

追答

是的，用z表示x,y的取值范围

Answer 2

利用柱面坐标写出积分区域，极径为ρ，极角为θ，其中ρ^2=x^2+y^2.
先求出球面和抛物面的交线在xoy面的投影，为ρ^2=3，所以三重积分的积分区域为
Ω: 0≤θ≤2π，0≤ρ≤根号3，（ρ^2）/3 ≤ z ≤ 根号下（4-ρ^2）。
先算z的积分，再算ρ的积分，再算θ的积分，算三次定积分即可。