Question

已知函数f(x)在R上满足2f(2-x)-x^2+8x-8，求过点（1,0）且与曲线y=f(x)相切的直线方程

Answer 1

解：令t=2-x，则，x=2-t
所以，2f(2-x)=x²+8x-8即为：2f(t)=（2-t)²+8(2-t)-8
整理得：f(t)=t²/2-6t+6
将t改为x，f(x)=x²/2-6x+6
设过点（1，0)的直线方程为：y=k（x-1）
联立方程f(x)=x²/2-6x+6和y=k（x-1）
得：x²/2-6x+6=k（x-1）
整理得：x²-（2k+12）x+2k+12=0
依题，△=（2k+12)²-4（2k+12）=0
解得：k=-6或k=-4
所以，满足直线方程为：y=-4（x-1）或y=-6（x-1）
不知数据又没错，方法应该是这样，希望对你有帮助！

Answer 2

2f(2-x)=x^2+8x-8 (若是这样）
f(2-x)=1/2x^2+4x-4
将x换成2-x
f(x)=1/2(2-x)²+4(2-x)-4
=1/2x^2-6x+6
设曲线的切线方程为
y=k(x-1)代入 y=1/2x^2-6x+6
1/2x^2-6x+6=kx-k
x^2-(12+2k)x+12+2k=0
Δ=(12+2k)²-4(12+2k)=0
12+2k=0,12+2k=4
∴ k=-6,k=-4
∴曲线的切线方程为
y=-6(x-1)或y=-4(x-1)
即6x+y-6=0 或4x+y-4=0

f(x) 在R上满足 2f(2-x)=-x²+8x-8 （若这样）
2f(2-x)=-x^2+8x-8 (若是这样）
f(2-x)=-1/2x^2+4x-4
将x换成2-x
f(x)=-1/2(2-x)²+4(2-x)-4
=1/2x^2-2x+2
设曲线的切线方程为
y=k(x-1)代入 y=-1/2x^2-2x+2
kx-k=-1/2x²-2x+2
x²+2(2+k)x- 2(k+2）=0
Δ= 4（2+k)²+8(k+2)=0
k+2=0,k+2=-2
∴k1=-2 k2=-4
于是所求的切线方程是
y=-2(x-1) 或 y=-4(x-1)
即 2x+y-2=0或4x-y-4=0

Answer 3

函数 f(x) 在R上满足 2f(2-x)=-x²+8x-8 (应该是这样吧？）
∵2f(2-x)=-x²+8x-8=-(x²-4x+4)+4x-8+4=-(2-x)²-4(2-x)+4
∴f(x)=-1/2x²-2x+2
∵f(1)=-1/2-2+2=-1/2≠0
∴点（1，0）不在f(x)上
过点（1，0）的直线方程是 y=k(x-1) 代入 f(x),得
kx-k=-1/2x²-2x+2
1/2x²+(2+k)x-k-2=0
∵直线与f(x) 相切
∴（2+k)²+2(k+2)=0
k²+4k+4+2k+4=0
k²+6k+8=0
(k+2)(k+4)=0
∴k1=-2 k2=-4
于是所求的切线方程是
y=-2(x-1) ,即 y=-2x+2
和 y=-4(x-1) 即 y=-4x+4