Question

已知函数f(x)=1/2x平方+lnx ， 求函数f(x)在区间[1,e]上的最大，最小值

二，求证，在区间(1.+无穷)上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x立方的图像下方

Answer 1

f(x)=x²/2+lnx
求导
f'(x)=x+1/x>0恒成立
所以
f(x)在区间[1,e]上的最大值为 f(e)=e²/2+1 最小值为 f(1)=1/2

h(x)=f(x)-g(x)=x²/2+lnx-2x³/3
求导
h'(x)=x+1/x-2x²=(-2x³+x²+1)/x=0
得 -2x³+x²+1=0
x³-x²+x³-1=0
x²(x-1)+(x-1)(x²+x+1)=0
(x-1)(2x²+x+1)=0
2x²+x+1>0 恒成立
所以 x-1=0 x=1
最大值为 x=1时 h(1)=1/2-2/3=-1/6<0
所以 当 x>1 时 h(x)<0 恒成立
即
在区间(1.+无穷)上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x立方的图像下方

Answer 2

f'(x)=x+1/x=(x^2+1)/x,
由于x>0,则有f'(x)>0,故函数在(0,+无穷)上是单调递增.
所以,在[1,e]的最大值是f(e)=1/2e^2+lne=e^2/2+1,最小值是f(1)=1/2+ln1=1/2
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x^2/2+lnx-2/3x^3
F'(x)=x+1/x-2x^2=(x^2+1-2x^3)/x=[(x^2-x^3)+(1-x^3)]/x=[x^2(1-x)+(1-x)(1+x+x^2)]/x=(1-x)(2x^2+x+1)/x
在x>1时,1-X<0,2X^2+X+1>0,故有F'(x)<0
即函数F(X)在X>1上时是单调递减的.
所以有F(x)<F(1)=1/2+0-2/3=-1/6<0
即有f(x)<g(x)
所以,在区间(1.+无穷)上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x立方的图像下方

Answer 3

路过！