Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E,F分别为PC,BD的中点，侧面PAD垂直

于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD. (1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.

Answer 1

1、∵E是PC中点，F是AC的中点，

∴EF是△PAC的中位线，

∴EF//PA，

∵PA∈平面PAD，

∴EF//平面PAD，（直线平行于两面内的直线则必平行于该平面）。

2、取AD中点M，连结PM，

PM是△PAD的中线，

∵PA=PD=√2a/2,

∴△PAD是等腰△，

∴PM⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PM⊥平面ABCD，（二平面垂直，若一平面内直线垂直交线，则垂直另一平面），

∵CD∈平面ABCD，

∴PM⊥CD，

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，

∵AD∩PM=M，

∴CD⊥平面PAD，

∵PA∈平面PAD，

∴CD⊥PA，

在△PAD中，PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,

AD^2=a^2,

∴根据勾股定理逆定理，

△PAD是RT△，

∴PA⊥PD，

∵PD∩CD=D，

∴PA⊥平面PDC，

∵PA∈平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PCD，证毕。

Answer 2

PAD垂直ABCD，AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2

1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中，中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a^2/4+a^2=a^2/2+a^2
PC^2=PD^2+CD^2
PD垂直CD
PA^2+PD^2=AD^2
直角三角形PAD PA垂直PD
PAD垂直PCD
PA垂直PCD
PAB垂直PCD

Answer 3

取CD中点G,连接EG,FG

则 FG⊥CD,EG⊥CD

∴CD⊥平面EFG

又CD⊥平面PAD

∴平面EFG∥平面PAD

∴EF//平面PAD

PA=PD=(根号2/2)AD

∴△PAD是直角△

∴PA⊥PD

又 PD⊥CD

PA⊥AB

∴ <APD是二面角

∴平面PAB垂直于平面PCD

Answer 4

⑴ 设G是CD中点，EG∥＝PD/2 ﹙中位线﹚，FG∥＝BC/2﹙中位线﹚，BC∥AD
∴FG∥AD ∴平面EFG∥PAD EF∥PAD
⑵ 设H是AD中点，则PH⊥AD﹙三合一﹚，PAD⊥ABCD ∴PH⊥ABCD
PA=PD=(根号2/2)AD ∴⊿PAD等腰直角，PA⊥PD
∵AB⊥AD ∴AB⊥PA﹙三垂线定理﹚ AB∥DC∴PA⊥DC
∵PA⊥PD, PA⊥DC
∴PA⊥PCD PA∈PAB ∴PAB⊥PCD