Question

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2acosC＝2b-c，f(c)=1-cos2

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2acosC＝2b-c，f(c)=1-cos2c/（1+tanc ） 求f(c)取直范围

Answer 1

a^2+b^2-2abcosC=c^2
2acosc=(a^2+b^2-c^2)/b
已知2acosC＝2b-c
所以:2b-c=(a^2+b^2-c^2)/b
2b^2-bc=a^2+b^2-c^2
b^2+c^2-bc=a^2
又:b^2+c^2-2cosAbc=a^2
2cosA=1
CosA=1/2
A=60
所以0<C<180-60=120度
C E(0,120)
tanc>0 or tanc<tan120=-根号3
cos2c=(1-tan(c^2]/{1+[tan(c]^2}=(1-tanc)(1+tanc)/{1+[tan(c]^2}
f(c)=1-cos2c/（1+tanc )
=1-(1-tanc)(1+tanc)/{1+[tan(c]^2}/(1+tanc)
=1-(1+tanc)/{1+tanc^2}
设tanc=x
1-(1+tanc)/{1+tanc^2}=1-(1+x)/(1+x^2)
设f(x)=1-(1+x)/(1+x^2) x>0 or x<-根号3
f'(x)=[(1+x)(1+2x)-(1+x^2)]/(1+x^2)^2=(1+3x+2x^2-1-x^2)/(1+x^2)^2=(x^2+3x)/(1+x^2)^2
分母大于0,
f'(x)>=0时,为增:
(x^2+3x)>0为增
x>0 or x<-3
即xE[-3,0]为减,

又x>0 or x<-根号3
综合:xE[-3,-根号3) 为减 x>0 or x<-3时为增.
当xE[-3,-根号3) 时:
当x=-3时,取极大值,为: f(x)=1-(1-3)/(1+9)=1+2/10=6/5
x趋于-根号3时,取极小值,1-(1-根号3)/(1+3)=(4-1+根号3)/4=(3+根号3)/4
此时,(3+根号3)/4=<f(c)<6/5...............1
当x>0时
x趋于无穷时,取极小值f(x)=1-(1+x)/(1+x^2) x趋于无穷大时,f(x)趋于1
所以f(x趋于无穷大)=1
x趋于0时,,f(0)=1-1=0
此时: 0< f(c)<1...............2

当x<-3时,
f(-3)=1-(1-3)/(1+9)=6/5
x=-无穷大时, f(x)=1
所以: 1<x<6/5.......................3

以上1,2式并集: 0<f(c)<6/5 x不等于1