Question

已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段A

已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，
（1）若抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；
（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C的焦点F(0，14m)，
∴|RF|=yR+14m=2+14m=3，得m=14．
（2）联立方程{y=mx22x-y+2=0，
消去y得mx2-2x-2=0，设A（x1，mx12），B（x2，mx22），
则{x1+x2=2mx1•x2=-2m（*），
∵P是线段AB的中点，∴P(x1+x22，mx12+mx222)，即P(1m，yp)，∴Q(1m，1m)，
得QA→=(x1-1m，mx12-1m)，QB→=(x2-1m，mx22-1m)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA→•QB→=0，
即(x1-1m)•(x2-1m)+(mx12-1m)(mx22-1m)=0，
结合（*）化简得-4m2-6m+4=0，
即2m2-3m-2=0，∴m=2或m=-12（舍去），
∴存在实数m=2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．