Question

求初等数论的答案

一、填空
1.（525，231）的最大公因数为

2.2160的正约数的个数为

3. 求所有正约数的和等于15的最小正数为

4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为

5.35！的标准分解式为

二、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n是任意整数。

三、假如(a,b)=1，那末(a-b,a+b)=1或2

四、求证 是不可约分数，这里n是任意正整数。

Answer 1

一：1）21
2）40
3）8
4）28
5）2^32*3^15*5^8*7^5*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31
二：先证2|n(n+1)
若n=2k，则2|n，必有2|n(n+1)；
若n=2k+1，则n+1＝2k+2，此时有2|(n+1)，故有2|n(n+1)。
故欲证6|n(n+1)(2n+1)，只需证3|n(n+1)(2n+1)。
若n=3k，则3|n，有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+1，则2n+1=6k+3，有3|2n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+2，则n+1=3k+3，有3|n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)。
(k为0、1、2、3、4……)
综上，得证！
三：运用辗转相除法理论(a-b,a+b)等价于(2a,a+b)
若a+b为奇数，则(2a,a+b)等价于(a,a+b)等价于(a,b)=1；
若a+b为偶数，此时a和b必同为奇数，若同为偶数，则(a,b)<>1，矛盾！
故a,b同为奇数，此时令a=2p+1，b=2q+1，则(2a,a+b)等价于2*(2p+1,p+q+1)等价于2*(p-q.p+q+1)等价于2*(p-q,2q+1)，
故欲证(a-b,a+b)=2，只需证2*(p-q,2q+1)，
因(a,b)=1，故(a-b,b)=1，即(2p-2q,2q+1)=1，有(p-q,2q+1)=1，
综上，得证！
第四题不完整～～～