Question

已知复数z1=√3+i, |z2|=1, z1·z2^2是虚部为负数的纯虚数,求z2

Answer 1

设z2=x+yi，x,y是实数
所以x^2+y^2=1
z1*z2^2=(sqrt(3)+i)*(x^2-y^2+2xyi)=[sqrt(3)(x^2-y^2)-2xy]+[x^2-y^2+2sqrt(3)xy]i
由已知得sqrt(3)(x^2-y^2)-2xy=0
x^2-y^2+2sqrt(3)xy<0 (2)
解得x^2=1/4 y^2=3/4
或x^2=3/4, y^2=1/4
从而x=1/2, y=-sqrt(3)/2, 或x=-1/2, y=sqrt(3)/2 或y=-1/2, x=-sqrt(3)/2 或y=1/2, x=sqrt(3)/2
把它们代入(2)式验证x=1/2, y=-sqrt(3)/2, 或x=-1/2, y=sqrt(3)/2
从而z2=1/2-sqrt(3)/2 i或z2=-1/2+sqrt(3)/2 i

Answer 2

(z1·z2^2)*[(z1·z2^2)的共扼]=|z1|^2*|z2|^4=4z1·z2^2是虚部为负数的纯虚数所以z1·z2^2=-2i解得z2=(1-√3i)/2