Question

如图：AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C。

（1）当AB=4,DC=1,BC=4时，在线段BC是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
（2）设AB=a，DC=b,AD=c,那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

Answer 1

(1) 假设存在存在一点P，使AP垂直PD
则三角形ABP相似于三角形PCD
AB/PC=BP/CD
即：4/(4-BP)=BP/1
BP=2
即P是BC的中点

（2）AB=a,DC=b,DC=c
则：BC=√[c^2-(a-b)^2]
设 BP=x
由（1）得：a/(BC-BP)=BP/b
BP^2-√[c^2-(a-b)^2]BP+ab=0
Δ=c^2-(a-b)^2-4ab
=c^2-(a+b)^2≥0
c^2≥(a+b)^2
c≥a+b
即当c≥a+b时，在直线BC上存在点P，使AP垂直PD