Question

初三数学，几何题求详解

如图一，四边形ABCD是正方形，G是CD边上一动点（G不与C、D重合），以CG为一边的正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG,DE.探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系。

（1）①猜想图一中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系。
②将图一中的张方形CEFG绕C顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α,得到如图二、如图三情形。请通过观察、测量等方式判断①中得到的结论是否依然成立，并选取图二证明。

（2）将原题中正方形改为矩形（如图四，图五，图六），且AB=a，BC=d，CE=ka，CG=kb，（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论那些成立，那些不成立？若成立，以图五为例简要说明。

Answer 1

解答：（1）①猜想BG=DE,且二者所在的直线相互垂直。

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形。

∴BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°

∴△BCG∽△DCE

故BG=CE,∠BGC=∠DEC

又∠BGC+∠CBG=90°

∴∠DEC+∠CBG=90°

BG与DE所在直线被BC所在直线所截，形成的同旁内角互为余角，则直线BG⊥DE.

②任然成立。

证明：如图二所示，在正方形ABCD与CEFG中，∠BCD=∠GCE=90°

∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,即∠BCG=∠DCE=90°

   BC=CD,CG=CE

∴△BCG∽△DCE

∴BG=CE,∠CBG=∠CDE

又∵∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠BHC=90°

则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角，有直线BG⊥DE.

（2）如图五所示，在矩形ABCE与CEFG中，∠BCD=∠GCE=90°

∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,

有∠BCG=∠DCE=90°

∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb

 BC/CD=b/a  ,    CG/CE=kb/ka=b/a

∴△BCG∽△DCE(对应两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)

   有∠CBG=∠CDE

∵∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠BHC=90°

则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角，有直线BG⊥DE.

又∵在矩形ABCE中,a,b不相等 

∴b与a的比值不为1，有BG不等于DE

故，（1）中结论只有BG与DE所在直线垂直这一条仍成立。

Answer 2

解：（1）①
BG=DE
线段BG、线段DE所在直线的位置关系为：互相垂直。

②将图一中的张方形CEFG绕C顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α,①中得到的结论依然成立。
理由如下：
在△DCE和△BCG中，
∵ CD=CB
∠ECG+∠DCG =∠BCD+∠DCG 即：∠DCE=∠BCG
CE=CG
∴△DCE≌△BCG(ASA)
∴DE=BG
∠CDE=∠CBG
又∵△OHD和△CHB中
∠OHD=∠CHB(对顶角相等)
∠CDE=∠CBG(已证)
∴△OHD∽△CHB
∴∠DOH=∠BCH=90°
即：线段BG、线段DE所在直线互相垂直。

（2）将原题中正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，（a≠b，k＞0），则
BG≠DE ；但线段BG、线段DE所在直线依然互相垂直。
理由如下：
图五可知，在△DCE和△BCG中
∵CD:CE=a:ka=1:k
∠ECG+∠DCG =∠BCD+∠DCG 即：∠DCE=∠BCG
BC:CG=b:kb=1:k
∴△DCE∽△BCG
∴CD:BC=DE:BG=a:b(a≠b) 即：BG≠DE
与(1)②同理，在△OHD和△CHB中
∠OHD=∠CHB(对顶角相等)
∠CDE=∠CBG(已证)
∴△OHD∽△CHB
∴∠DOH=∠BCH=90°
即：线段BG、线段DE所在直线互相垂直

Answer 3

(1)①BG=DE,BG⊥DE
②依然成立
证明：
∵∠BCG=∠DCG﹢∠BCD
∠ECD=∠ECG+∠DCG
∵四边形ABCD是正方形,CEFG也是正方形
∴∠BCD=∠ECG=90º
BC=DC
GC=CE
∴ ∠BCG =∠ECD
∴ΔBCG≌ΔDCE
∴BG=DE(。。。。。。。。。。。。得证)
∵ΔBCG≌ΔDCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHG
而∠BHC+∠CBH=90º
∴∠HDE+∠DHG=90º
∴BG⊥DE(。。。。。。。。。。。。得证)
（2）BG不等于DE而是kBG=DE
BG仍然垂直于DE

说明：∵∠BCG=∠DCG﹢∠BCD
∠ECD=∠ECG+∠DCG
∵四边形ABCD是长方形,CEFG也是长方形
∴∠BCD=∠ECG=90º
∴ ∠BCG =∠ECD
∵AB=a，BC=b（这里应该是b吧），CE=ka，CG=kb
∴∴ΔBCG∽ΔDCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHG
而∠BHC+∠CBH=90º
∴∠HDE+∠DHG=90º
∴BG⊥DE

Answer 4

这我搜到的还有一个解答很好但是没办法复制过来你自己把题目复制然后查一下会更清楚
解答：解：（1）①BG=DE，
BG⊥DE．（2分）
②BG=DE，
BG⊥DE仍然成立．（1分）
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE（1分），
∴△BCG≌△DCE（SAS），（1分）
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．（1分）

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．（2分）
简要说明如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴ ，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，（1分）
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．（1分）

Answer 5

解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；
②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．
（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
∴BCDC=CGCE=ba，
又∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．

Answer 6

希望帮到你~~