Question

1、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M

1、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：
AH=AB
；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

Answer 1

第一个问题：你已经写出答案了。 具体的方法有：
1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论。
　　∵AM＝AN、AH⊥MN，　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2。
　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。
　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN，
　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。
　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°，得：△ABM≌△AHM，
　　∴AB＝AH。

2、通过证明AM平分∠BMH，然后由角平分线性质得出结论。
　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。
　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN，
　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。
　　∴∠AMB＝90°－45°/2。
　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN，　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2。
　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2，AB⊥BM、AH⊥HM，　∴AB＝AH。

3、通过第二个问题的方法得出结论。［此处略］

第二个问题：
延长MB至E，使BE＝DN。
∵ABCD是正方形，　∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADN＝90°，又BE＝DN，　∴△ABE≌△ADN，
∴AE＝AN、∠BAE＝∠DAN。
∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，又∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠BAM＋∠BAE＝45°，　∴∠MAE＝45°。
由AE＝AN、AM＝AM、∠MAE＝∠MAN＝45°，得：△MAE≌△MAN，　∴AB＝AH（对应高）。

第三个问题：
由锐角三角函数定义，有：tan∠MAH＝MH/AH＝2/AH、　tan∠NAH＝NH/AH＝3/AH。
而∠MAN＝∠MAH＋∠NAH＝45°，　∴tan（∠MAH＋∠NAH）＝1，
∴（tan∠MAH＋tan∠NAH）/（1－tan∠MAH·tan∠NAH）＝1，
∴tan∠MAH＋tan∠NAH＝1－tan∠MAH·tan∠NAH，
∴2/AH＋3/AH＝1－（2/AH）（3/AH），　∴5AH＝AH^2－6，　∴AH^2－5AH－6＝0，
∴（AH－6）（AH＋1）＝0。
显然有：AH＋1＞0，　∴AH＝6。

Answer 2

BM+DN=MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴△AEM≌△ANM，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；