Question

复变函数的问题 res(cos[1/(1-z)],1 )=?

带有解题过程

Answer 1

因为是求z=1的留数，所以我们令u=z-1，求u=0点的留数。则
cos[1/(1-z)]=cos(-1/u)=cos(1/u)
用泰勒展开得到洛朗展开有
cos(1/u)=1-1/2*(1/u)^2+...
故1/u为0，所以留数为0.
故res(cos[1/(1-z)],1 )=0

追问

如果我设k=1/(1-z) 求cosk 在K=无穷点 的留数 这样可不可以？？

追答

留数是用路径积分来定义的，所以你在做变换的时候要考虑变换后函数会变成什么样，
比如原来的函数是
int cos[1/(1-z)]dz
那么你做k=1/(1-z)的变换后，dz也会变为1/k^2 dk，
所以你应该求
1/k^2cosk在无穷的留数，而不是cosk的留数。（虽然它们都是0……）