Question

高中数列难题

已知数列an，bn满足：a1=9/2,2a(下标n+1)-an=6*2^n，bn=an-2^(n+1)，那么记数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nεn＋都有Sn／Tn≦m／bn，求实数m的最小值。
高考在即，加油吧

Answer 1

解：
2a(n+1) -an=6×2^n
2a(n+1)=an+6×2^n
2a(n+1)-2×2^(n+2)=an-2^(n+1)
[a(n+1)-2^(n+2)]/[an-2^(n+1)]=1/2，为定值。
a1-2^2=9/2 -4=1/2
数列{an -2^(n+1)}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an -2^(n+1)=1/2ⁿ
an=2^(n+1) +1/2ⁿ
n=1时，a1=2^2 +1/2=9/2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(n+1) +1/2ⁿ。
bn=an-2^(n+1)=2^(n+1)+1/2ⁿ-2^(n+1)=1/2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=2^2+2^3+...+2^(n+1)+1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ
=4(2ⁿ -1)/(2-1) +(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=2^(n+2) -1/2ⁿ -3
Tn=b1+b2+...+bn=1/2+1/2^2+...+1/2ⁿ=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=1- 1/2ⁿ
Sn/Tn≤m/bn
[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(1-1/2ⁿ)≤m/(1/2ⁿ)
2^(n+2) -1/2ⁿ -3≤m(2ⁿ -1)
m≥[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(2ⁿ -1)
m≥[2^(2n+2) -3×2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥[4×2^(2n)-4×2ⁿ+2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥4+(2ⁿ -1)/[2ⁿ(2ⁿ -1)]
m≥4 +1/2ⁿ
随n增大，2ⁿ递增，1/2ⁿ递减，4+1/2ⁿ递减，因此当n=1时，4+1/2ⁿ有最大值4+1/2=9/2
要对任意正整数n，不等式恒成立，则m≥9/2
m的最小值为9/2。

Answer 2

证：A1=3/2，An=3nA(n-1)/[2A(n=1)+(n-1)]
∴n/An=2/3+(n-1)/3A(n-1),设Bn=n/An,则Bn=(2/3)+B(n-1)/3,
Bn-1=[B(n-1)-1]/3,∴数列{Bn-1}是首项B1-1=1/A1-1=-1/3，公比q=1/3的等比数列，通项Bn-1=(-1/3)·(1/3)^(n-1）,Bn=1-(1/3)^n
∴An=n/Bn,A1A2A3…An=(1·2·3·…·n)/(B1B2B3…Bn)=n!/(B1B2B3…Bn)
∵B1B2B3…Bn=[1-(1/3)][1-(1/3)^2][1-(1/3)^3]·…·[1-(1/3)^n]>1/2
∴n!/(B1B2B3…Bn)<2n!,∴A1A2A3…An<2n!