Question

矩阵由正交变换为标准形，这两个矩阵不仅合同而且相似。这是为什么，能解释一下吗。不胜感激

Answer 1

正交变换指存在正交矩阵P, 使得 P^-1AP = B 所以 A,B 相似

由于 P是正交矩阵，所以 P^T = P^-1

所以 P^TAP = B, 故 A,B 合同

在实对称矩阵中，每个矩阵都可以通过正交变换对角化，而对角化的结果恰为特征值构成的对角矩阵。

正交变化（P^(-1)=P^T)

故如果相似，则可以相似于同一个对角矩阵，则特征值相同

另外注意到是相似于同一个对角矩阵，故可以取正交变换，在这个意义上合同。

扩展资料：

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

参考资料来源：百度百科-合同矩阵

Answer 2

正交变换指存在正交矩阵P, 使得 P^-1AP = B, 所以 A,B 相似.
由于 P是正交矩阵, 所以 P^T = P^-1
所以 P^TAP = B, 故 A,B 合同.