Question

f(x)在[0,1]上有意义，单调不增，证明对任何0<a<1有∫(a,0)f(x)dx>=a∫∫(1,0)f(x)dx

Answer 1

[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx]
=[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→a)f(x)dx+∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]
=a(1-a)[f(u)-f(v)。
最后第二个等式是根据f(x)在[0,1]上连续，利用积分中值定理得到，其中 0≤u≤a≤v≤1。
根据f(x)在[0,1]上单调减少，所以有f(u)≥f(v)，
这就得到了 ∫(0→a)f(x)dx-a∫(0→1)f(x)dx≥0，
即 ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0<a<1)。

追问

这步(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]到这步怎么来的
=(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]

追答

∫(0→a)f(x)dx=af(u) ，其中u∈（0，a）
∫(a→1)f(x)dx=(1-a)f(v) ,v∈（a，1）
这两个都是由积分中值定理得来的