Question

线性代数行列式证明题

abcd =1
证明 a^2+(1/a)^2 a (1/a) 1
D= b^2+(1/b)^2 b (1/b) 1
c^2+(1/c)^2 c (1/c) 1
d^2+(1/d)^2 d (1/d) 1
D= 0

想了好久不太明白 abcd =1 这个条件如何使用 如何证明 请教线性代数的高手们

还有一个问题 是 如何 把 高阶 行列式 按 行和 列 展开
如果有范例更好

如 D(n) = a D(n-1) + b D(n-2) (a b 为任意数)
这种 具体是如何操作的 怎么样得到 D(n-2) 前面的系数
非常感谢~

Answer 1

解: 将D按第一列分拆
D = D1 + D2
a^2 a a^-1 1 a^-2 a a^-1 1
b^2 b b^-1 1 + b^-2 b b^-1 1
c^2 c c^-1 1 c^-2 c c^-1 1
d^2 d d^-1 1 d^-2 d d^-1 1

第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a,b,c,d, 因为 abcd=1, 所以
D1 =
a^3 a^2 1 a
b^3 b^2 1 b
c^3 c^2 1 c
d^3 d^2 1 d
交换列(奇数次)
= -
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3
1 d d^2 d^3

第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a^2,b^2,c^2,d^2, 因为 abcd=1, 所以
D2 =
1 a^3 a a^2
1 b^3 b b^2
1 c^3 c c^2
1 d^3 d d^2
交换列(偶数次)
=
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3
1 d d^2 d^3

所以 D = D1+D2 = 0.

后面提到的递归方法要看实际情况
找一本线性代数习题精选之类的书看看, 都会介绍这个方法

Answer 2

按第一列分成两个行列式，再用性质变成两个相同行列式的差。
如还做不出，发个邮箱来，把过程发给你。

追问

我的邮箱 fandichao1998@sohu.com 请教一下 变得时候 如何用到abcd=1 这个条件。。。。 谢谢~~~

Answer 3

你这个问题多啦，不要分，一个一个来