Question

二、（计算题）在三角形ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinB乘于cosC，判断三角形ABC的形状。

Answer 1

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+c^2-a^2=bc
余弦定理
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=bc/2bc=1/2
A=60°
sinA=2sinBcosC，
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
sinBcosC-cosBsinC=0
sin(B-C)=0
B=C A=60°
所以A=B=C 等边三角形

Answer 2

解：(a+b+c)(b+c-a)=3bc
[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
(b+c)²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²+c²-a²=bc
COSA=(b²+c²-a²)/2bc
=bc/2bc
=1/2
A=60°
sinA=sin(180°-B-C)=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
sinBcosC-cosBsinC=0
sin(B-C)=0
B-C=0
B=C=60°
三角形ABC为等边三角形

Answer 3

ABC为等边三角形。