Question

已知函数f（x）=x的立方+ax平方+bx+a平方 求：（1）函数f（x）在x=1处有极值为10，求b（2）若对任意a...

已知函数f（x）=x的立方+ax平方+bx+a平方
求：（1）函数f（x）在x=1处有极值为10，求b（2）若对任意a属于[4，正无穷 ），f（x）在x属于[0;2]上单调递增，求b最小值

Answer 1

解：(1) 导函数 f'(x)=3x²+2ax+b，由已知 f'(1)=3+2a+b=0………①
f(1)=1+a+b+a²=10……②
由①②解得a=-3，b=3或a=4，b= —11
又由已知，若有极值，f(x)须既有增区间又有减区间，而不能在定义域上单调增或减
而f'(x)开口向上，只须与x轴有两交点，就能保证f'(x)＜0有解
即△=4a²-4×3b＞0，a²＞3b，
∴b= —11
(2)由已知，3x²+2ax+b＞0在[0，2]上恒成立
而因a∈[4，+∞)，故对称轴-a/3＜0，要想满足上述条件，
只须f'(0)=b≥0即可
∴b最小为0

Answer 2

1. f'(x)=3x^2+2ax+b
函数f（x）在x=1处有极值为10，
f'(1)=3+2a+b=0
f(1)=1+a+b+a^2=10 解得a=-3 ,b=3或a=4 b=-11
2. f'(x)=3x^2+2ax+b
对称轴x=-a/3 a属于[4，正无穷 ），-a/3<0
x）在x属于[0;2]上单调递增，
所以f'(0)>=0
所以 b>=0
b最小值=0

Answer 3

①f'(x)=3x²+2ax+b
∵函数f(x)在x=1处有极值为10
∴f'(1)=2a+b+3=0
f(1)=a²+b+a+1=10
解得a=-3,b=3或a=4,b=-11
②f'(x)=3x²+2ax+b
f'(x)的对称轴x=-a/3
a属于[4,+∞),-a/3<0
在x∈[0;2]上单调递增，
∴f'(0)≥0
∴b≥0
b最小值bmin=0

Answer 4

a