z=4-√(x^2+y^2)与旋转曲面z=1/2(x^2+y^2)所围几何体体积
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化 成柱面坐标，z=4-r,这是开口朝下的倒锥面，顶点在（0，0，4）,
z=r^2/2,是开口朝上的旋转抛物面，
联立。消去z,
r^2/2=4-r,
r^2+2r-8=0,
(r+4)(r-2)=0,
r=2,r=-4(不合题意，舍去），
z=4-2=2,
z=2,则交线方程为：r=2,z=2,
交线在XOY平面投影区域r=2,z=0即为立体投影，
V=[σ]∫∫∫rdrdθdz
=∫[0，2π]dθ∫[0,2]rdr∫[r^2/2,4-r]dz
=∫[0，2π]dθ∫[0,2](4r-r^2-r^3/2)dr
=∫[0，2π]dθ (2r^2-r^3/3-r^4/8)[0,2]
=∫[0，2π](8-8/3-16/8)dθ
=20π/3。
z=r^2/2,是开口朝上的旋转抛物面，
联立。消去z,
r^2/2=4-r,
r^2+2r-8=0,
(r+4)(r-2)=0,
r=2,r=-4(不合题意，舍去），
z=4-2=2,
z=2,则交线方程为：r=2,z=2,
交线在XOY平面投影区域r=2,z=0即为立体投影，
V=[σ]∫∫∫rdrdθdz
=∫[0，2π]dθ∫[0,2]rdr∫[r^2/2,4-r]dz
=∫[0，2π]dθ∫[0,2](4r-r^2-r^3/2)dr
=∫[0，2π]dθ (2r^2-r^3/3-r^4/8)[0,2]
=∫[0，2π](8-8/3-16/8)dθ
=20π/3。
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