Question

计算∫L（1+xe^2y）dx+(x^2e^2y-y^2)dy,其中L是从点O（0,0）经圆周（x-2）^2+y^2=4上半部到点A（4,0）

的弧段

Answer 1

解：因为（1+xe^2y）对y求偏导数得：2xe^2y；
(x^2e^2y-y^2) 对x求偏导数得：2xe^2y，故积分与路径无关。
选取路径：y=0，0《x《4，代入得：
∫L（1+xe^2y）dx+(x^2e^2y-y^2)dy=∫L（1+x）dx，L：[0,4]
=x+x^2/2=12

Answer 2

P=1+xe^2y
Q=x^2e^2y-y^2
Py=2xe^2y
Qx=2xe^2y
即
Py=Qx
所以
积分和路径无关，现在选择路径OA:y=0,x:0->4
所以
原式=∫（0,4）(1+x)dx=(4x +x²/2)|(0,4)=12