Question

三次方程求根公式？

Answer 1

ax^3+bx^2+cx+d的标准型
化成
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0
可以写成
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a
令y=x-a1/3
则y^3+px+q=0
其中p=-(a1^2/3)+a2
q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3

2)用1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1= A（1/3）,v1= B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.

Answer 2

将最高项系数化为1后为：x^3+ax^2+bx+c=0
令x=y-a/3，方程化为：y^3+py+q=0
P=b-a^2/3, q=c-ab/3+2a^3/27
令y=u+v代入，得：u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0
如果令：u^3+v^3+q=0, 3uv+p=0, 并求出u,v则可得y=u+v为解。
u^3+v^3=-q
uv=-p/3, u^3v^3=(-p/3)^3=-p^3/27
u^3, v^3为二次方程: z^2+qz-p^3/27=0的解。
得u^3, v^3 =z=(-q±√D)/2，其中 D=q^2+4p^3/27
所以u,v为： z1,z2= 3√z.
令 ω=(-1+i√3)/2，得y的三个解为：
y1=z1+z2
y2=ωz1+ω2z2
y3=ω2z1+ωz2

从而得：
x1=y1-a/3
x2=y2-a/3
x3=y3-a/3

D>0有一个实根及一对共轭复根
D=0有三个实根，其中有两个或三个根相等
D<0有三个不等实根
当D<0时，可根据一个三角恒等式方便地求出三个实根：
cos 3A=4cos3A-3cosA
z=cosA , z^3-3/4z-1/4 cos3A=0
令y=nz,代入 y^3+py+q=0,得 z^3+z p/n^2+q/n^3=0
只需令p/n^2=-3/4,q/n^3=-1/4cos3A,即
n=√-4p/3,
cos3A=-4q/n3=-q/2/(√(-p^3/27)
由于D<0,因此上式中其绝对值小于1，因此反余弦即可求出3A，进而得A。
z的三个解为：cosA, cos(A+120°), cos(A+240°)
从而得y=nz.