Question

已知实数x,y满足2x-y≤0,x+y-5≥0.y-4≤0,若不等式a(x^2+y^2)≥(x+y)^2恒成立,则实数a的最小值

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Answer 1

{2x-y≤0,x+y-5≥0.y-4≤0
表示的区域为1个三角形
顶点A(1,4),B(2,4),C(5/3,10/3)

a(x^2+y^2)≥(x+y)^2
<==>
a≥(x+y)^2/(x^2+y^2)=1+ 2xy/(x^2+y^2)
2xy/(x^2+y^2)=2/(x/y+y/x)
(x,y)在ΔABC内运动时，k=y/x∈[2,4]
x/y+y/x=1/k+k在[2,4]上为增函数
∴1/k+k∈[5/2,17/4]
∴2/(x/y+y/x)∈[8/17,4/5]
∴1+ 2xy/(x^2+y^2)∈25/17,9/5]
∴a≥9/5