Question

二道高中数学题

谢谢~

Answer 1

一、
1、根据椭圆性质：
离心率e=c/a=√3/2
三角形周长为：2c+2a=4+2√3
解方程组得：a=2，c=√3
b²=a²-c²=1
所以椭圆方程为：x²/4+y²=1

2、设M(m,0)，则直线MN方程：y=(x-m)/2
N(0,-m/2)
联立椭圆方程，解得：
D((m+√(8-m²))/2，(-m+√(8-m²))/4)
C((m-√(8-m²))/2，(-m-√(8-m²))/4)
向量MC=((-m-√(8-m²))/2，(-m-√(8-m²))/4)
向量CN=((-m+√(8-m²))/2，(-m+√(8-m²))/4)
向量MD=((-m+√(8-m²))/2，(-m+√(8-m²))/4)
向量DN=((-m-√(8-m²))/2，(-m-√(8-m²))/4)
所以：向量MC=向量DN，向量CN=向量MD
MC=λCN，MD=μDN
λ+μ=(MC•DN+MD•CN)/(CN•DN)
分子=((-m-√(8-m²))/2)²+((-m-√(8-m²))/4)²+((-m+√(8-m²))/2)²+((-m+√(8-m²))/4)²=5/2
分母=(-m+√(8-m²))/2*(-m-√(8-m²))/2+(-m+√(8-m²))/4*(-m-√(8-m²))/4=5(m²-4)/8
λ+μ=4/(m²-4)
范围：
直线MN与椭圆有两个交点，即：
方程：x²/4+[(x-m)/2]²=1的判别式△>0
即：m²-4<4
所以：λ+μ>1

二、
1、
f(x)定义域为x>0，f'(x)=2-a-2/x，f'(x)=0时，x=2/(2-a)
a≥2时，f(x)在定义域内单调递减；
a<2时：x>2/(2-a)时f'(x)>0，f(x)单调递增；x<2/(2-a)时f'(x)<0，f(x)单调递减

2、
g(x)在[0，e]域内的图像特征：
g(0)=0---->递增---->极大值g(1)=1---->递减---->g(e)=e^(2-e)
因为x趋于0时，f(x)趋于正无穷，所以要满足题意，f(x)在(0，e]域内需：
正无穷---->递减---->极小值f(x)<0---->递增---->f(e)>1
根据以上条件列式：
a<2...................1式（不为单调递减）
2/(2-a)<e..............2式（域内有拐点）
f(2/(2-a))<0..............3式（极小值小于0，保证了有两个f(x)=0）
f(e)>1.......................4式（f(e)大于g(x)的极大值1，保证了有两个f(x)=1

解以上不等式组得：
a<(2e-5)/(e-1)

Answer 2

(1)解析：∵椭圆E离心率e=c/a=√3/2
三角形周长为：2c+2a=4+2√3
联立解得a=2，c=√3
B^2=a^2-c^2=1
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2=1

(2)解析：∵CD//AB，b/a=1/2
设M(m,0)
∴直线MN方程：y=1/2(x-m)，N(0,-m/2)
联立椭圆方程得2x^2-2mx+m^2-4=0
解得：x1=[m-√(8-m^2)]/2，x2=[m+√(8-m^2)]/2
∴y1=[-m-√(8-m^2)]/4，y2=[-m+√(8-m^2)]/4
∴D((m+√(8-m^2))/2，(-m+√(8-m^2))/4)，C((m-√(8-m^2))/2，(-m-√(8-m^2))/4)
向量MC=((-m-√(8-m^2))/2，(-m-√(8-m^2))/4)
向量CN=((-m+√(8-m^2))/2，(-m+√(8-m^2))/4)
向量MD=((-m+√(8-m^2))/2，(-m+√(8-m^2))/4)
向量DN=((-m-√(8-m^2))/2，(-m-√(8-m^2))/4)
∴向量MC=向量DN，向量CN=向量MD
∵向量MC=λ向量CN，向量MD=μ向量DN
λ+μ=(向量MC•向量DN+向量MD•向量CN)/( 向量CN•向量DN)
向量MC•向量DN =((-m-√(8-m^2))/2)^2+((-m-√(8-m^2))/4)^2=5/2+5m√(8-m^2)/8
向量MD•向量CN =((-m+√(8-m^2))/2)^2+((-m+√(8-m^2))/4)^2=5/2-5m√(8-m^2)/8

CN•DN =(m^2-4)/2+(m^2-4)/8=5(m^2-4)/8
∴λ+μ=8/(m^2-4)
∵直线MN与椭圆有两个交点，方程：2x^2-2mx+m^2-4=0的判别式△=32-4m^2>0
即：m^2-4<4
∴λ+μ>2

(1)解析：∵函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx，其定义域为x>0
当a=2时，f(x)=-2lnx，函数f(x)单调减;
当a>2时，f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx
f’(x)=(2-a)-2/x<0，函数f(x)单调减;
当a<2时
令f’(x)=(2-a)-2/x=0==>x=2/(2-a)
f’’(x)=2/x^2>0
∴f(x)在x=2/(2-a)取极小值
∴当x∈(0, 2/(2-a))时，f(x)单调减; 当x∈[2/(2-a),+∞)时，f(x)单调增;
(2)解析：对任意给定的x0∈(0, e],在此区间上总存在x1≠x2，使得f(xi)=g(x0)
G(x)=xe^(1-x)
令g’(x)=(1-x)e^(1-x)=0==>x=1
∴g(x)在x=1处取极大值g(1)=1
由(1)知f(x)在x=2/(2-a)取极小值f(2/(2-a))=a+2ln(2-a)-2ln2
设h(a)=a+2ln(2-a)-2ln2，其定义域a<2
令h’(a)=1-2/(2-a)=0==>a=0
∴h(a)在a=0处取极大值0
∴f(2/(2-a))< g(1)
∴当a<2时，f(x)与g(x)图像必存在二个交点

∵x0∈(0, e]==>g(e)=e^(2-e)
令f(e)=(2-a)(e-1)-2lne=(2-a)(e-1)-2=g(e)=e^(2-e)
解得a= (2e-4-e^(2-e))/(e-1)≈0.552281
∴当a<= (2e-4-e^(2-e))/(e-1)时，满足题意要求

Answer 3

一。（1）a=2,c=√3，椭圆：。。。
（2）由于4点共线，只需要讨论x坐标即可。
设M（a,0）,斜率为1/2，直线方程。。。，N（0，-0.5a）
和椭圆方程联立起来消掉y，得到C,D的x坐标满足：2x^2-2a*x+a^2-4=0（C,D为不同2点，即△>0,得到a^2<8）
1'CD，MN不共点时，（即a^2≠4）λ+μ=8/(a^2-4) 可得范围：(-∝,-2]U(2,∝)
(注意,a^2可以取到0,但不能取到8，即λ+μ可以取-2，取不到+2)
2'共点时，a=±2。无解（或者∝）
所以，范围：(-∝,-2]U(2,∝)

二。（1）x>0,f'=....讨论f'大于0，小于0的部分，易得
a≥2时，f(x)在定义域内单调递减；
a<2时：x>2/(2-a)时f'(x)>0，f(x)单调递增；0<x<2/(2-a)时f'(x)<0，f(x)单调递减
(2).g(x0)的范围：(0,1]，即f(x)的值域在(0,1]的区间，总存在2个不同的解
显然f'不是单调函数。由（1）可知，至少a<2。然后在定义域内f(x)的值至少2次覆盖区间(0,1] （自己画图）
a<2时，f(x)先减后增。那么需要满足几个条件：
f(x),x->0时，f(x)>1; f(x)最小值<=0;f(x) x->+∝时，f(x)>1;
由此可以得到a的范围
1' 显然x->0时，f(x)->∝，f(x)>1;
2' x->0∝时，f(x)>1；
3' 下面求a得范围，保证f(x)最小值<=0
x=2/(2-a)时，f(x)取的最小值h(a)
h(a)=a-2*ln(2/(2-a))
对h(a)求导，得到h(a)的单调情况，先增后减，在a=0处取得最大值：0
可知，对一切a<2，都有f(2/(2-a))<=0;

(前面计算没看清xi也要在(0,e]上,按照：(0,+∝]算的，似乎题目表述不太好，应该说：f(x)在区间(0,e]。。。前面走了些弯路，算了)
画f(x)图可知，必须2-a>0; 2/2-a<e(因为必须在(0,e]不是单调的，而且f(x)min也确实<=0);同时f(e)>=1...
可以得到a的取值范围：a<=2-3/(e-1)

Answer 4

第一题 略。
第二题 如下：1） f`(x)=(2-a)-2/x .可能的极值点为x=0或者x=2/(2-a)。 据此讨论

1。2/(2-a）>0 即 a<2.
f(x)单调递增区间为（-&，0）U(2/(2-a),+&)。f(x)单调递减区间为（0，2/（2-a））。
2。2/(2-a）.<0 即 a>2.
f(x).单调递增区间为（-&，2/(2-a),）U (0,+&)。f(x)单调递减区间为（2/（2-a）,0）。
3。a=2.
f(x).单调递增区间为 (0,+&)。f(x)单调递减区间为（-&，0）。

2）使f(xi)=g(x。) 由原函数的图像可知要使xi有两个不同的值即在（0，e]上f(x)与g(x)有两个交点。 分析两函数的图像得
必须保证 1 . f(x)不为单调递减 即 a<2
2 .0<2/(2-a)<e极值点x=2/(2-a) 在（0，e]之内。
3 . f(2/(2-a))<0极小值点在X轴下方
4 .f(e)>1 保证有两个交点。

所以 a<2且0<2/(2-a) <e 且f(e)>1 即 a<(2e-5)/(e-1)

第一题很简单你自己看看不会我在回答， 请给豆豆!

Answer 5

好长时间没动过这些题了，还得查公式。唉，老了啊

Answer 6

对不住啊，真的老了，不行了