Question

27．阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x

这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；
例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；
例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为 ；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

1、|x+3|=4 x+3=±4 x=1或x=-7
2、|x-3|+|x+4|≥9
(1) x>3 |x-3|+|x+4|=x-3+x+4=2x+1≥9 x≥4
(2) x<-4 |x-3|+|x+4|=-x+3-x-4=-2x-1≥9 x≤-5
(3)-4<x<3 |x-3|+|x+4|=-x+3+x+4=7 不等式不成立
所以x≤-5或x≥4
3、|x-3|-|x+4|≤a
(1) x>3 |x-3|-|x+4|=x-3-x-4=-7
(2) x<-4 |x-3|-|x+4|=-x+3+x+4=7
(3)-4<x<3 |x-3|-|x+4|=-x+3-x-4=-2x+1
所以a是不存在的，题目如果改为“若||x-3|-|x+4||≤a对任意的x都成立，求a的取值范围。”，你看这样好不，实在不行咱们再商讨商讨。

Answer 2

解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．（3分）

（2）∵3和-4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．
当x在3的右边时，如图，

易知x≥4．（5分）
当x在-4的左边时，如图，

易知x≤-5．（7分）
∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（8分）

（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．（9分）
当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，
当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，
当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，
即|x-3|-|x+4|的最大值为7．（11分）
故a≥7．（12分）