Question

正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2,l3,l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为h1,h2,h3，

Answer 1

正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．
（1）求证：h1=h3；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=（h2+h1）2+h12；
（3）若，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．

过A作l2 的垂线，垂足为E，过C作l3的垂线，垂足为F。
由正方形ABCD和平行线，证明三角形ABE全等于三角形CDF（角边角）
高自然相等，也就是h1=h3

1）分别过左右两个顶点作平行线的垂线，则在正方形外围着四个全等的直角三角形，直角三角形的直角边长分别为h1和h2+h3其中（h1=h3),所以整个图形为一个大正方形面积为（h1+h2+h3)^2,所以s=(h1+h2+h3)^2-1/2(h2+h3)*h1*4,其中h3=h1,所以s=(h1+h2)^2+h1^2.
2)因为0<h1<2/3,所以s=5/4(h1-2/5)^2+4/5,观察图像所以当0<h1<2/5时，s随h1的增大而减小;当2/5<=h1<2/3时,s随h1的增大而增大。