Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F、分别是线段AB、BC的中点(1...

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F、分别是线段AB、BC的中点(1)求证:PF⊥FD;(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG//平面PFD；若PB与平面ABCD所成的角为45

Answer 1

(1)在矩形ABCD中，连结AF、DF。
因为三角形ABF和三角形CDF都是等腰直角三角形。
所以三角形AFD是等腰直角三角形，即FD⊥FA。
又PA⊥平面ABCD，且FD在平面ABCD内，所以FD⊥PA。
因为FA交PA=A，所以FD⊥平面PAF。
因为PF在平面PAF内，所以PF⊥FD。
(2)取PA的中点M、PD的中点N，连结MN、MB、NF。
因为MN//AD且MN=AD/2，而AD//BC且AD=BC，所以MN//BC且MN=BC/2=BF。
因此四边形BFNM是平行四边形，即MB//NF。
取MA的中点G，连结EG，则EG//MB//NF。
因为NF在平面PFD内、EG不在平面PFD内。
所以EG//平面PFD。
(3)由题意知，PA=1。
取AD的中点H，连结FH，则FH⊥平面PAD。
作HP⊥PD、垂足为点P，连结PF。
因为PD⊥HP、PD⊥FH，则PD⊥平面PFH，即PD⊥PF。
所以，角FPH是二面角A-PD-F的平面角。
用直角三角形PAD与直角三角霰PHD相似，可计算得PH=1/√5。
而FH=1，则PF=√6/√5。
cos角FPH=PH/PF=√6/6。
二面角A-PD-F的余弦值=√6/6。

Answer 2

利用平几可得DF垂直AF，又因为PA垂直于DF，所以DF垂直于面PAF，可得1问。过点E用EM平行DF交AD于M，过M作MG平行于PD交PA于G即可