Question

6道【微积分】基础计算题（求详细过程）【200分】

1、∫x√(4-x²) dx
2、∫(x+1)e^（x²+2）dx
3、∫tan²x dx
4、∫(x-4)/x²dx
5、f(x)=x^(lnx), 求 dy/dx
6、∫arcsin x dx

求详细过程，谢谢大家了！

Answer 1

你的第二个积分看看题目有没有抄错，包含了这样一个项: 积分(e^(x^2))是不能用初等函数表达的，其他的见图片解答，结果都经过了计算机验证，可以保证正确。

Answer 2

1.x^4/(1+x²)]dx
=∫[(x^4-1)+1]/(1+x²)]dx
=∫(x^4-1)/(1+x²)+∫1/(1+x²)dx
=∫(x²+1)(x²-1)/(1+x²)dx+∫1/(1+x²)dx
=∫(x²-1)dx+∫1/(1+x²)dx
=∫x²dx-∫dx+∫1/(1+x²)dx
=x³/3-x+arctanx+C
2.又是只要认真观察就很简单了……
认真观察呀！
令t=lnx，原式＝∫(e^t+1)dt/(e^t+t)
注意到：d(e^t+t)=(e^t+1)dt,所以只要令y=e^t+t，
原式＝ ∫dy/y=lny+c
把y替换为x：
ln(lnx+x)+c
3.dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx
∫f(x)dx=F(x)
这个其实给你实例比较好理解
F(x)一般是用来表示原函数的
函数一般用f(x)表示
希望对你有帮助 4.ydx=(4x-x^2)dy
dy/y=dx/(4x-x^2)
两边积分，得ln|y|=∫dx/(4x-x^2)
ln|y|=-∫1/[x(x-4)]dx
ln|y|=-1/4∫[1/x-1/(x-4)]dx
ln|y|=-1/4[lnx-ln(x-4)]+C
y=[x/(x-4)]^(1/4)*e^C 5.=1
则y+lny+0=1
y+lny=1
所以y=1
dxy+dlny+dlnx=0
xdy+ydx+(1/y)dy+(1/x)dx=0
(x+1/y)dy=-(y+1/x)dx
x=y=1
所以2dy=2dx
做两题吧,用不定积分方法
1.∫arcsin[x/(x+1)]^(1/2)dx
=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)
-∫x/[1-x/(x+1)]*(1/2)*[(x+1)/x]^(1/2)*(x+1)^(-2)dx
=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-∫x^(1/2)/2(x+1)dx
=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-∫1/2x^(1/2)-1/2x^(1/2)*(x+1) dx
=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-x^(1/2)+arctan[x^(1/2)]+C
可得定积分为4pi/3-3^(1/2)
3.令t=1/x 则dx=-dt/t^2
∫dx/x(3x^2-2x-1)^(1/2)
=∫-(dt/t^2)*t|t|/(3-2t-t^2)^(1/2)
=-sgn(t)∫dt/[4-(t+1)^2]^(1/2)
=-sgn(t)arcsin[(t+1)/2]+C
=-sgn(x)arcsin[(x+1)/2x]+C
可得定积分为pi/2-arcsin(3/4)所以原式=1 6.

Answer 3

1、∫x√(4-x²) dx=(1/2)∫√(4-x²) d(x²)=-(1/2)*(2/3)(4-x²)^(3/2)+C=-(1/3)(4-x²)^(3/2)+C

2、结果不是初等函数，积不出来

3、∫tan²x dx=∫(sec²x-1) dx=tanx-x+C

4、∫(x-4)/x²dx=∫(1/x-4/x²)dx=ln|x|+(4/x)+C

5、y=x^(lnx)
两边取对数得：lny=lnxlnx=(lnx)²
两边求导得：y'/y=2lnx/x
因此y'=2ylnx/x=2x^(lnx)lnx/x=2x^(lnx-1)lnx

6、∫arcsin x dx
=xarcsinx-∫ x/√(1-x²)dx
=xarcsinx-(1/2)∫ 1/√(1-x²)d(x²)
=xarcsinx+√(1-x²)+C

Answer 4

为清晰表达，已经手打到word上了，见图，如需要可留个邮箱，我将答案发给你。

Answer 5

不知道