Question

已知抛物线x^2=4y，过点A(0,1)任意做一条直线L交抛物线C于M,N两点，

求：过M,N分别作抛物线的切线L1，L2，试探求L1与L2的交点的纵坐标是否为定值，并证明。
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Answer 1

x^2=4y，则y=x^2/4。
设A(x1,x1^2/4)、B(x2,x2^2/4)、L的方程为y=kx+1。
联立抛物线与直线L方程得：x^2-4kx-4=0，x1+x2=4k、x1x2=-4。
y'=x/2，L1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2，即y=x1x/2-x1^2/4。
同理，L2方程为y=x1x/2-x2^2/4。
联立L1、L2方程：x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4，(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4，即x=(x1+x2)/2。
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1，定值。

Answer 2

解：是定值且y=-1
设：m（a,b) n(c,d) 直线L的斜率为k
因为m（a,b) n(c,d)在抛物线上，所以：aa=4b, cc=4d两式相减知a+c=4k
因为抛物线x^2=4y，所以L1的斜率为a/2, L2的斜率为c/2
则L1的方程为y-ab=a/2(x-a), L2的方程为：y-d=c/2(x-c)
联立两个方程可解得交点横坐标为2k，将x=2k代入L1或 L2可得交点的纵坐标为y=ck-cc/2+d
因为A(0,1)与 n(c,d) 在同一直线上，所以k=d-1/c
两式联立可得y=2d-1-cc/2因为 cc=4d所以y=2d-1-4d/2=-1
综上：交点纵坐标为定值-1

Answer 3

假设直线L的方程为y=kx+1
代入抛物线方程有x^2-4kx-4=0
求得x1=2k+2√(k^2+1),x2=2k-2√(k^2+1)
则y1=2k^2+1+2k√(k^2+1),y2=2k^2+1-2k√(k^2+1)
那么l1为x*[2k+2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]即x=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]/[2k+2√(k^2+1)]
l2为x*[2k-2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]即x=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]/[2k-2√(k^2+1)]
依题意有2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]/[2k+2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]/[2k-2√(k^2+1)]
y√(k^2+1)=-(2k^2+1)*√(k^2+1)+2k^2√(k^2+1)
y=-1
即L1与L2的交点的纵坐标为定值-1

Answer 4

是定值，楼主先证明抛物线上点（x1，x1^2/4）处的切线的斜率为x1/2
设MN方程为y=kx+1，带入抛物线方程，M、N点横坐标X1、X2
求出X1*X2值为-4
两切线方程为：y=x1/2(x-x1)+x1^2/4 x2的同理
消去x可得y=x1x2/4=-1

Answer 5

-1
是定值