Question

对于数学归纳法的原理以及其深层理解。

Answer 1

（一）第一数学归纳法： 　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： 　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； 　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　（二）第二数学归纳法： 　　对于某个与自然数有关的命题P(n）， 　　（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）： 　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； 　　（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； 　　（四）螺旋式归纳法 　　对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， 　　（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。