Question

高中数学 - 向量 : 一道解答题

ABCDEF为正六边形，M、N是BF、FD的内分点，且BM/BF = FN/FD = √3/3，求证：A、M、N三点共线。

请证明一下。
过程越详细越好！！
谢谢！

Answer 1

我这里提供一个通用的方法，解析的去做
建立平面直角坐标系，以正六边形的中心为原点，FC为X轴，垂直FC做Y轴
设C坐标为（1,0），F（-1,0），B（1/2,√3/2)，A（-1/2,√3/2)，D(1/2,-√3/2)
向量BF=(-3/2,-√3/2)，FD=(3/2,-√3/2)，
BM= √3/3BF，FN=√3/3FD,BM=（-√3/2，-1/2）,FN=（√3/2，-1/2）
得到M坐标（1/2-√3/2，√3/2-1/2），N坐标（√3/2-1，-1/2）
AM=(1-√3/2,-1/2),AN=(√3/2-1/2，-1/2-√3/2)
AM=(√3-1)/2AN，也就是说AMN三点共线

Answer 2

AM＝AB+BM＝AB+√3/3BF＝AB+√3/3（BA+AF）＝（1√3/3）AB+√3/3AF
AN＝AF+FN＝AF+√3/3FD＝AF+√3/3（AD+DC）＝AF+√3/3（AD-AF）＝（1√3/3）AF+√3/3AD＝（1-√3/3）AF+2√3/3（AB+AF）＝2√3/3AB+（1+√3/3）AF＝2/（√3-1）AM
即三点共线