Question

已知：椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点为F1,F2，e=1/3，过F1的直线l交椭圆C于AB两点，|AF2|、|AB|、|BF

已知：椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点为F1,F2，e=1/3，过F1的直线l交椭圆C于AB两点，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，且|AB|=4
(1)求椭圆C的方程；(2)M,N是椭圆C上的两点，若线段MN被直线x=1平分，证明：线段MN的中垂线过定点

Answer 1

做右准线为：x = -a^2/c、x = a^2/c
按椭圆定义：
A到椭圆右准线距离 = AF2/e ，∴A到椭圆左准线距离 = (2a^2/c) - (AF2/e)
同理，B到椭圆左准线距离 = (2a^2/c) - (BF2/e)
同样按椭圆定义：e = AF1/[(2a^2/c) - (AF2/e)] = 1/3
∴AF1 = [(2a^2/c) - (AF2/e)]/3
同理BF1 = [(2a^2/c) - (BF2/e)]/3，将两式相加：
4 = |AB| = [(4a^2/c) - {(AF2 + BF2)/e}]/3 ，∵|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，∴AF2 + BF2 = 8
∴4 = [(4a^2/c) - 24]/3 ，∴a^2 = 9c解得a = 9e = 3
∴椭圆C的方程：(x^2/9) + (y^2/8) = 1
(2)设M(x1，y1)N(x2，y2)分别代入椭圆方程并相减、整理：
{(y2)^2 - (y1)^2}/{(x2)^2 - (x1)^2} = -b^2/a^2 = -8/9
即{[(y2)-(y1)]/[(x2)-(x1)]}·{[(y2)+(y1)]/[(x2)+(x1)]} = -8/9
设直线MN斜率k，则k = (y2)-(y1)]/[(x2)-(x1)
设线段MN中点G(X0,y0)，则y0= [(y2)+(y1)]/2，x0 = [(x2)+(x1)]/2
于是，上式变为：k·(y0/x0) = -8/9
∵线段MN被直线x=1平分，∴k·y0 = -8/9
易得MN中垂线的斜率k1 = -1/k = (9/8)y0
∴根据点斜式，MN中垂线的方程L：
y - y0 = [(9/8)y0]·(x - x0)
即y = (y0/8)·(9x - 1)
当x = 1/9时，y = 0
因此(1/9 ，0)就是所求的定点