Question

设函数f(x)=|x-1|+|x+1|,若不等式|a+b|-|2a-b|<=|a|*f(x)对任意实数a,b且a不等于0恒成立,求实数x的取值...

设函数f(x)=|x-1|+|x+1|,若不等式|a+b|-|2a-b|<=|a|*f(x)对任意实数a,b且a不等于0恒成立,求实数x的取值范围?

Answer 1

解：由f(x)≥(|a+b|-|2a-b|)/|a|，对任意a,b∈R,且a≠0恒成立，
而(|a+b|-|2a-b|)/|a|≤|a+b+2a-b|/|a|=3
∴f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3
解得x≤-3/2,或 x≥3/2
∴x的取值范围为{x|x≤-3/2,x≥3/2}

Answer 2

|a|f(x)≥|a＋b|－|2a－b|对一切实数a、b恒成立(a≠0)，则：
f(x)≥【[|a＋b|－|2a－b|]/|a|】的最大值即可
而：[|a＋b|－|2a－b|]/|a|≤|(a＋b)＋(2a－b)|/|a|=3
即：[|a＋b|－|2a－b|]/|a|的最大值是3，则：
f(x)≥3
|x－1|＋|x＋1|≥3
解得：x≥3/2或x≤－3/2

Answer 3

解：三角不等式：lxl - lyl ≤ l x + y l ≤ lxl + lyl ……①
lxl - lyl ≤ l x - y l ≤ lxl + lyl ……②
对原式 |a+b|-|2a-b|<=|a|*f(x) 左侧 用公式①左侧的结论得：
|a+b|-|2a-bl ≤ l (a+b) + (2a-b)l = l a+b+2a-bl = l3al = 3lal
也就是说，|a+b|-|2a-bl 的最大值是 3lal，而原式|a+b|-|2a-b|<=|a|*f(x)
对任意实数a,b且a不等于0恒成立，那么，|a|*f(x)应该“大于等于”|a+b|-|2a-bl
的最大值是 3lal，即 |a|*f(x) ≥ 3lal 可保证原式成立（充分条件）
∵ a≠0
∴ f(x) ≥ 3
用图象法，可轻易看出其解：x ≥ 3/2 or x ≤ -3/2