Question

已知三次函数f(x)=ax³-5x²+cx+d(a≠0)图像上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且f(X)在x=3处有极值

(1)求f(x)的解析式
(2)若当x∈(0,m)时，f(x)＞0恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1.
∵f(x)经过(1,8)
∴a-5+c+d=8
∵f'(x)=3ax²-10x+c
切线的斜率为f'(1)=3a-10+c
∴切线方程为y-8=(3a-10+c)(x-1)
∵经过(3,0)
∴0-8=(3a-10+c)(3-1)
∵f(x)在x=3处有极值
∴f'(3)=0
即：3a×3²-10×3+c =0
解得：a=1、c=3、d=9
∴f(x)=x³-5x²+3x+9

2.
f'(x)=3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)
由f'(x)=0得：x1=1/3，x2=3
当x∈(0，1/3)时：f'(x)＞0，f(x)单调递增
∴f(x)＞f(0)=9
当x∈(1/3，3)时：f'(x)＜0，f(x)单调递减
∴f(x)＞f(3)=0
∵f(3)=0
∴当m＞3时，f(x)＞0在(0，m)内不恒成立
∴当且仅当m∈(0，3]时，f(x)＞0在(0，m)内恒成立
∴m取值范围为(0，3]

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

Answer 2

f'(x)=3ax^2-10x+c
图像过点（1，8），则f(1)=a-5+c+d=8 即：a+c+d=13
f'(1)=3a-10+c
切线为：y=(3a-10+c)(x-1)+8
代入（3，0）得:2（3a-10+c)+8=0, 即：3a+c=6
f(x)在x=3有极值，则f'(3)=27a-30+c=0
联立以上三式，解得：a=1, c=3, d=9
所以f(x)=x^3-5x^2+3x+9

f'(x)=3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3), 得极值点x=1/3, 3
f(1/3)=-14/27+10为极大值
f(3)=27-45+18=0为极小值
因此0<m<3

Answer 3

求导，X=1带入求导后的函数得到斜率，表示直线Y-8=f'（X）(X-1)，然后带入点（3，0）得到一式子，将X=3带入求导的函数等于零，再将X=8带入原函数，解得abc