Question

对f（x）积分后求导和求导后积分，在定积分和不定积分里面结果一样嘛？

|f ’（x）dx，和 [|f（x）dx]'

在定积分和不定积分里面结果一样嘛？

Answer 1

解：
设f(x)的一个 原函数为 F(x)
对于不定积分，积分后求导和求导后积分相差一个常数；
[ ∫f(x)dx ]' = [F(x)+c]' = f(x)；
∫f‘(x)dx = f(x)+c；

对于定积分，如果先积分后求导，是对积分变量的求导，若积分限为常数则导数为零；若积分限为变量，则适用复合函数求导法则。
如果先求导后积分，那么得到的是给定函数的两点间函数值的差；
设 f(x)的原函数为 F(x);
{ [a,b]∫f(x)dx }' = [F(b) - F(a)]' = 0；
{ [y(x), z(x)]∫f(x)dx }' = [F(z(x)) - F(y(x))]' = f(z)*z'(x) - f(y)*y'(x)；

[y,z] ∫f‘(x)dx = f(z) - f(y)；

Answer 2

不一样，相差一个常数C
∫ f'(x) dx = ∫ df(x) = f(x) + C
d/dx ∫ f(x) dx = d/dx [F(x) + C] = d/dx F(x) + d/dx (C) = f(x)

Answer 3

解：f（x）积分后求导还是f(x)
求导后积分不一定是f(x)

追问

|f ’（x）dx，和 |[f（x）dx]'

这俩结果一样嘛/？ 在定积分里面结果一样嘛？

追答

不一定

追问

能举个简单例子吗？

追答

如f(x)=2x积分得x^2+c后求导得2x
f(x)=2x求导后得2 在积分得2x+c
c可能等于0.也可能不等于0