Question

请数学高手解答：

已知函数f(x)=2m(sinx)^2-2√3m(sinx·cosx)+n的定义域为[0,π(派)/2],值域为[-5,4]，试求函数g(x)=msinx+2ncosx(x∈R)的对称轴、对称中心、单调区间和最值。

Answer 1

导数，【（sinx)^2】'=sin2x，【sinx·cosx】'=cos2x
f’（x）=2msin2x-2√3mcos2x=4msin（2x-π/3）
当f‘（x）=0，x=π/6
当x变化时，f’（x），f（x）的变化如下表：
x 0 0，π/6 π/6 π/6，π/2 π/2
f’（x） - 0 +
f（x） n ↘ 极小值-m+n ↗ 2m+n
所以当x=π/6 ， f（x）有最小值-m+n=-5
当x=π/2 ， f（x）有最大值2m+n=4
解得m= 3 ， n= -2

∴g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+φ），其中tanφ= - 4/3
对称轴：x+φ=π/2+kπ，解得x=π/2+kπ+arctan（4/3）
对称中心：x+φ=kπ，解得x=kπ+arctan（4/3）
单调区间： - π/2+2kπ≤x+φ≤π/2+2kπ，解得x∈【- π/2+2kπ+arctan（4/3），π/2+2kπ+arctan（4/3）】
最值：最大值5，最小值-5

追问

请问，为什么不用讨论m，n的正负号呢？

追答

你说得对，要讨论，化简到f(x）= -2msin(2x+π/6)+m+n
讨论m的正负
当m＞0，……
当m＜0，-m+n=4，2m+n=-5，解得m=-3，n=1
∴g（x）= - 3sinx+cosx=2sin（x-π/3）
……

追问

非常感谢

Answer 2

先化简f(x)=（1-cos2x）m-√3msin2x+n
=-m(cos2x+√3sin2x)+m+n
=-2msin(2x+π/6)+m+n
因为定义域为[0,π(派)/2],所以f（x）的最大、小值为2m+n、n-m。根据m的正负确定哪一个为-5，哪一个为4，带入g（x），就可以求出来了。