Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足2an-Sn=1,n属于N+

1求an的通项公式 2在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后构成数列bn,在an和an+1两项中插入n个数,使这n+2个数构成等差数列,求b2012 3.对于中的数列bn,若bm=an求b1+b2+b3+......+bm.（用n表示）

Answer 1

1.变形sn-2s(n-1)=1n=1,a1=1,先求出sn.sn=2^2s(n-2)+2+1=2^3s(n-3)+2^2+2+1=…=2^(n-1)s1+2^(n-2)+…1=2^(n-1)+2^(n-1)-1=2^n-1,an=sn-s(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
2.an,a(n+1)插入n个数组成等差数列d=a(n+1)-an=2^(n-1)/(n+1).注意到a(n+1)=b(n+n(n+1)/2+1).b2016=a63则b2012在a62,a63之间,此时d=2^61/63,b2012=a63-4d=2^62-4*2^61/63=61*2^62/63
3.an=bm,m=(n-1)+n(n-1)/2+1分成b1+b2+b3,b3+b4+b5+b6,…,b(n-2+(n-1)(n-2)/2+1)+…b(n-1+n(n-1)/2+1)几部分按等差数列相加得和tn,tn-sn+a1+an=b1+…+bm

Answer 2

2a1-a1=1
a1=1
2an-Sn=1
Sn=2an-1
S(n-1)=2a(n-1)-1
an=2an-1-[2a(n-1)-1]
an/a(n-1)=2
an=a1q^(n-1)=2^(n-1)
a2-a1=2-1=1
d=1/2
b2012=a1+(2012-1)d=2013/2
bm=a1+(m-1)d=(m+1)/2=2^(n-1)
m=2^n-1
Tm=1+3/2+2+...+2^(n-1)
=2^n-1+(2^n-1)*2^n*1/2/2
=4^(n-1)-3*2^(n-2)-1

Answer 3

2an-sn=1 （1）
2(an-1)-(sn-1)=1 (2)
(1)式－（2）式，得an-2an-1=0

追问

谢谢你的帮助，前两问我已经解出来了，我主要是想知道第三题的答案