Question

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+4⑴当a=2时,求函数f(x)的极值②若函数

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+4⑴当a=2时,求函数f(x)的极值②若函数f(x)在区间（2,+∽）上不单调，求实数a的取值范围

Answer 1

1. a=2 f(x)=x^3-x^2-8x+4
f'(x)=3x^2-2x-8
令f'(x)=0 3x^2-2x-8=0 x=-4/3或x=2
f极大值=f(-4/3)=577/64
f极小值=f(2)=-8
2. f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(3x+a+2)(x-a)
函数f(x)在区间（2,+∽）上不单调，则f'(x)在区间（2,+∽）上至少有1个根
f'(x)=0 x=a或x=-(a+2)/3
a>2 或-(a+2)/3>2
a>2或a<-8

Answer 2

（1）∵a=2
f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+4= x3- x²-8x+4
所以f＇(x)=3 x²-2x-8
令f＇(x)=0即3 x²-2x-8=0
（x-2)(3x+4)=0
所以x=2或x=-4/3
∴f（x）极大值=f(-4/3)=577/64
f（x）极小值=f(2)=-8
（2）函数f（x）在区间（2，+∞）不单调，等价于
导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．
∵f'（x）=3 x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-（a+2）/3
若a=-（a+2）/3即a=-1/2时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-1/2时，有a∈（2，+∞）或者-（a+2）/3∈（2，+∞）
解得a∈（-∞，-8）或者a∈（2，+∞）,且a≠-1/2
综上得参数a的取值范围是（-∞，-8）∪（2，+∞）