Question

已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点，N为AB边上的一点，且AN=3NB （1）已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点

（1）已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点，N为AB边上的一点，且AN=3NB，连接AM，MN分别交BD于E，F，猜想DE，EF，FB间的大小关系是------，为什么？

（2）若将平行四边形ABCD改成梯形（其中AB平行CD），且AB=2CD，其他条件不变，此时（1）中猜想DE，EF，FB的关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，求出DE比EF比FB的值。

Answer 1

（1）DE=EF=FB．
理由：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=2：1，
即BE=2DE，
∴BD=3DE，
又∵AN=3NB，
∴AB=DC=4NB，
∴DM=2NB，
∵AB∥DC，
∴△DMF∽△BNF，
∴DF：FB=DM：NB=2：1，
即DF=2FB，
∴BD=3BF，
∴DE=EF=FB．
（2）不成立；
∵AB=2CD，CD=2DM，
∴AB=4DM．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=4：1，
即BE=4DE，
∵AB=4NB，
∴NB=DM．
∵AB∥CD，
∴∠MDF=NBF，
∴∠DMF=∠BNF，
∴△BNF≌△DMF，
∴DF=FB，
∴DE=1/5BD，EF=DF-DE=3/10BD，BF=1/2BD，
∴DE：EF：FB=1/5：3/10：1/2=2：3：5．

Answer 2

解：（1）画图（1分）
填表每空0.5分，（4分）
猜想：DE=EF=FB（6分）

（2）成立，（7分）
理由：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=2：1，
即BE=2DE，
∴BD=3DE，
又∵AN=3NB，
∴AB=DC=4NB，
∴DM=2NB，
∵AB∥DC，
∴△DMF∽△BNF，
∴DF：FB=DM：NB=2：1，
即DF=2FB，
∴BD=3BF，
∴DE=EF=FB．

（3）不成立；
∵AB=2CD，CD=2DM，
∴AB=4DM．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=4：1，
即BE=4DE，
∵AB=4NB，
∴NB=DM．
∵AB∥CD，
∴∠MDF=NBF，
∴∠DMF=∠BNF，
∴△BNF≌△DMF，
∴DF=FB，
∴DE=1/5BD，EF=DF-DE=3/10BD，BF=1/2BD，
∴DE：EF：FB=1/5：3/10：1/2=2：3：5．