Question

解方程x^4+6x^2-4x+24=0,已知其中一根

1.解方程x^4+6x^2-4x+24=0,已知其中一根是-1+√5 i
2.z=3i-/√5+2i/,则z^6等於
【详细过程】

Answer 1

1、其中一根为-1+√5 i，则另一根为-1-√5 i
两根之和为：-2，两根之积为：1+5=6
因此原方程有因式x²+2x+6
x⁴+6x²-4x+24
=x⁴+2x³+6x²-2x³-4x²-6x+4x²+8x+24
=x²(x²+2x+6)-2x(x²+2x+6)+4(x²+2x+6)
=(x²+2x+6)(x²-2x+4)
因此方程另两根为：(2±√(4-16))/2=1±√3 i

2、z=3i-|√5+2i|=3i-√(5+4)=-3+3i=3√2(cos(3π/4)+isin(3π/4))
z⁶=18³[cos(3π/4)+isin(3π/4)]⁶
=18³[cos(9π/2)+isin(9π/2)]
=18³[cos(π/2)+isin(π/2)]
=5832i

追问

两根之和为：-2，两根之积为：1+5=6
？？不明白

追答

-1+√5 i，-1-√5 i
两个数字相加和相乘不会吗？

追问

可以详细点吗？？

追答

(-1+√5 i)+(-1-√5 i)=-2
(-1+√5 i)*(-1-√5 i)=1+5=6

追问

原方程有因式x²+2x+6
怎样出来的
两根为：(2±√(4-16))/2=1±√3 i??
不明白

追答

没学过韦达定理吗？x²+bx+c=0，两根之和是-b，两根之积是c。现在-b=-2，c=6，就得到方程x²+2x+6=0了。

如果没学过韦达定理，就这样做，由于-1+√5 i，-1-√5 i是方程两根，
则二次方程为：(x+1-√5 i)(x+1+√5 i)=0，乘开后就得：x²+2x+6=0

两根为：(2±√(4-16))/2=1±√3 i，这是一元二次方程的求根公式。

Answer 2

1、已知一根是-1+√5 i ，则（x+1）^2=-5,则x^2+2x+6=0
x^4+6x^2-4x+24=(x^2+2x)^2-4x(x^2+2x+6)+10(x^2+2x+6)-36=0
这是个证明题吧？！
2、z=3i-|√5+2i|=3i-√(5+4)=-3+3i=3（-1+i）
（z/3)^2=-2i,z^2=-18i
z^4=-18^2=324
z^6=-5832i