Question

如果证明两个收敛函数的和也是收敛函数，两个收敛函数的积也是收敛函数

以及一个不等于0的实数乘以收敛函数也为收敛函数

Answer 1

首先收敛函数一定有收敛的子列
设函数f(x),g(x)收敛，则任给正数M，m，存在x',x''属于U空心领域（x0；m）|f(x‘)-f(x'')|<M/2 |g(x')-g(x'')|<M/2
所以|f(x')+g(x')-f(x'')-g(x'')|<=|f(x')-f(x'')|+|g(x')-g(x'')|<M
|cf(x')-cf(x'')|<cM/2，在此由于M的任意性，所以cf(x)收敛..
积的话。。|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')|=|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')+f(x')g(x'')-f(x')g(x'')|<=|f(x')(g(x')-g(x''))|+|g(x'')(f(x')-f(x''))|<|f(x')|M/2+|g(x'')|M/2 所以收敛
纯手打啊楼主。。。

Answer 2

首先收敛函数一定有收敛的子列
设函数f(x),g(x)收敛，则任给正数M，m，存在x',x''属于U空心领域（x0；m）|f(x‘)-f(x'')|<M/2
|g(x')-g(x'')|<M/2
所以|f(x')+g(x')-f(x'')-g(x'')|<=|f(x')-f(x'')|+|g(x')-g(x'')|<M
|cf(x')-cf(x'')|<cM/2，在此由于M的任意性，所以cf(x)收敛..
积的话。。|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')|=|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')+f(x')g(x'')-f(x')g(x'')|<=|f(x')(g(x')-g(x''))|+|g(x'')(f(x')-f(x''))|<|f(x')|M/2+|g(x'')|M/2
所以收敛
纯手打啊楼主。。。

Answer 3

f(x),g(x)均收敛
得
存在M,使得
|f(x)|<=M,|g(x)|<=M
故
|f(x)+g(x)|<=|f(x)|+|g(x)|<=2M
故f(x)+g(x)也收敛
即两个收敛函数的和也是收敛函数
同理可得两个收敛函数的积也是收敛函数

Answer 4

首先收敛函数一定有收敛的子列
设函数f(x),g(x)收敛，则任给正数M，m，存在x',x''属于U空心领域（x0；m）|f(x‘)-f(x'')|<M/2
|g(x')-g(x'')|<M/2
所以|f(x')+g(x')-f(x'')-g(x'')|<=|f(x')-f(x'')|+|g(x')-g(x'')|<M
|cf(x')-cf(x'')|<cM/2，在此由于M的任意性，所以cf(x)收敛..
积的话。。|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')|=|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')+f(x')g(x'')-f(x')g(x'')|<=|f(x')(g(x')-g(x''))|+|g(x'')(f(x')-f(x''))|<|f(x')|M/2+|g(x'')|M/2
所以收敛
纯手打啊楼主。。。

Answer 5

f(x),g(x)均收敛
得
存在M,使得
|f(x)|<=M,|g(x)|<=M
故
|f(x)+g(x)|<=|f(x)|+|g(x)|<=2M
故f(x)+g(x)也收敛
即两个收敛函数的和也是收敛函数
同理可得两个收敛函数的积也是收敛函数