Question

已知函数f(x)＝a－2/(2∧x＋1)。求证：（1）不论a为何实数，f(x)总是为增函数（2）当f(x)为奇函数时，...

已知函数f(x)＝a－2/(2∧x＋1)。求证：（1）不论a为何实数，f(x)总是为增函数（2）当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域

Answer 1

1.不妨设x>y,2^x>2^y \
f(x)-f(y)=2/(2^y+1)-2/(2^x+1)>0
所以不论a为何实数,f(x)总为增函数

2.f(x)为奇函数,
f(-x)=-f(x)
令x=0
f(0)=-f(0)
f(0)=0
f(0)=a-2/(2^0+1)=a-1=0
a=1

3.此时f(x)=-1/(2^x+1)
因为2^x>0,
所以2^x+1>1.
所以0<1/(2^x+1)<1
所以0<-1/(2^x+1)<1
所以值域为（0，1）

Answer 2

已知函数f(x)＝a-2/(2^x＋1)。求证：（1）不论a为何实数，f(x)总是为增函数（2）当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域
解：(1) ∵f′(x)=2(ln2)2^x/(2^x+1)²>0对任何x都成立，与a的取值无关，故f(x)总是增函数。
因为是奇函数，故f(-x)+f(x)=a-2/[2^(-x)+1]+[a-2/(2^x+1)]=2a-2(2^x+1)/(2^x+1)=2a-2=0，∴a=1
此时f(x)=1-2/(2^x+1)是增函数，由于x→-∞limf(x)=x→-∞lim[1-2/(2^x+1)]=-1；
x→+∞limf(x)=x→+∞lim[1-2/(2^x+1)]=1；f(0)=0；
∴-1<f(x)<1，即值域为(-1，1).

Answer 3

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