Question

？？？2已知函数f(x)＝a－2/(2∧x＋1)。求证：（1）不论a为何实数，f(x)总是为增函数（2）当f(x)为奇函...

？？？2已知函数f(x)＝a－2/(2∧x＋1)。求证：（1）不论a为何实数，f(x)总是为增函数（2）当f(x)为奇函数时，求f(x)的值

Answer 1

(1)
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]
＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴(2^x1)－(2^x2)＜0
又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数

(2)
f(x)为奇函数，则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0
∴a＝1
经检验，a＝1时，f(x)是奇函数.
此时f(x)＝1－[2/(2^x＋1)]
∵(2^x)＋1＞1
∴0＜1/[(2^x)＋1]＜1
∴0＜2/[(2^x)＋1]＜2
∴－1＜1－[2/(2^x＋1)]＜1
∴f(x)∈(－1，1)

Answer 2

由题意可得 2^x+1 为单调递增函数
1\( 2^x+1 ) 为单调递减函数
- 1\( 2^x+1 ) 为单调递增函数
∴不论a为何实数，f(x)总是为增函数
f(x) 为奇函数 ，又∵ x=0时有定义
∴ f(0)=0 0=a-2\(1+1) a=1
f(x)=(2^x-1)\(2^x+1)

Answer 3

任意的x1，x2∈R，且x1＜x2则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2∴2^x1＜2^x2∴(2^x1)－(2^x2)＜0又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0∴f(x1)－f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数(2)f(x)为奇函数，则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0∴a＝1经检验，a＝1时，f(x)是奇函数.此时f(x)＝1－[2/(2^x＋1)]∵(2^x)＋1＞1∴0＜1/[(2^x)＋1]＜1∴0＜2/[(2^x)＋1]＜2∴－1＜1－[2/(2^x＋1)]＜1∴f(x)∈(－1，1)

Answer 4

(1)对函数表达式求导，导数大于零，做函数是增函数。其中用到求导基本公式中的商运算和指数函数求导公式，用导数判断函数单调性定理 .(2)x=0时，函数有定义，且f(0)=0,由此求出a=1,代入原式，求出f(x)=(2^x-1)/(2^x+1).

Answer 5

1.已知2^x函数数增函数，但1/2^x为减函数，前面加-即为-1/2^x为增函数。∴不论A何数，函数总是增函数。
2.F（X）为奇函数，则F（0）=0，
代入函数F（X）=A-2/1+1=A-1=0
得A=1
∴函数F（X）=1 - 2/2^x+1