Question

2010湖北随州的一道数学题

已知抛物线y=-x²+2x顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
问：在直线x=1上有一点F（1，3/4 ），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形
哪位高手帮个忙啊。急求~
。

Answer 1

解析：∵抛物线y=-x²+2x，直线L：y=5/4，过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M
抛物线对称轴：x=1上一点F(1,3/4)
∴M(x,5/4)
(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2==>y=1/4
代入抛物线得x1=1-√3/2, x2=1+√3/2
∴P(1-√3/2,1/4)或P(1+√3/2,1/4)
|PM|=1,|PF|=√[(1+√3/2-1)^2+(1/4-3/4)^2]=1
∴PM=PF=FM
∴△PFM为正三角形

Answer 2

抛物线y=-x²+2x，直线L：y=5/4，过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M 抛物线对称轴：x=1上一点F(1,3/4) ∴M(x,5/4) (x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2==>y=1/4 代入抛物线得x1=1-√3/2, x2=1+√3/2 ∴P(1-√3/2,1/4)或P(1+√3/2,1/4) |PM|=1,|PF|=√[(1+√3/2-1)^2+(1/4-3/4)^2]=1 ∴PM=PF=FM