Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

解：（1）证明：连接OB、OP
∵ 且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO ∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥ OP
∴ ∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP
∵ OB=OC ∴ ∠O CB=∠CBO ∴ ∠BOP=∠POA
又∵ OB=OA OP=OP ∴ △BOP≌△AOP ∴ ∠PBO=∠PAO
又∵ PA⊥AC ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线
（2）由（1）知∠BCO =∠P OA 设PB ，则 BD=2a
又∵ PA=PB=a ∴ AD=2根号二a
又∵ BC∥OP ∴ DC/CO=2 ∴ DC=CA=2根号二a除以2
∴ OA=二分之根号二a ∴ op=二分之根号六a∴ cos∠BCA=co s∠POA= 三分之根号三

Answer 2

题有错吧？既然BC是⊙O的一条弦，那么B在圆上；又直线PB交直线AC于点D，AC是直径，那么
D在直径上，且在圆内，PB怎么会是⊙O的切线呢？你没有图，能不能用文字说清楚点。

追问

对不起，我不能上传图，我级别不够，网上有题，但我看不懂，可以看他的图，帮我好好解答一下好吗=v=、、、

追答

“网上有题”？请把链接写出来。

Answer 3

（1）证明：连接OB、OP，如图，
∵
DB
DP
=
DC
DO
=
2
3
，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直线PB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知∠BCO=∠POA，
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=
DP2-PA2
=2
2
a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=
1
2
×2
2
a=
2
a，
∴OA=
2
2
a，
∴OP=
OA2+PA2
=
(
2
a
2
)2+a2
=
6
2
a，
∴cos∠BCA=cos∠POA=
OA
OP
=
3
3
．