Question

函数f(x)在区间[0,1]上连续,对于满足∫(a,b) f(x)dx=0 则在[0,1]上f(x)

函数f(x)在区间[0,1]上连续,对于满足0<=a<=b<=1的任意a,b都有∫(a,b) f(x)dx=0,则在[0,1]上f(x)=_______

Answer 1

结论是在[0,1]内f(x)≡0，下面证明f(x)在(0,1)上恒为0
反证法，假设f(x)不恒为0，则存在c∈(0,1)，使得f(c)≠0，不妨设f(c)>0，
由于f(x)连续，由极限的局部保号性知，存在δ>0，使得对于x∈(c-δ，c+δ)，均有f(x)>0
取a=c-δ，b=c+δ，则∫(a,b) f(x)dx>0，与条件矛盾，因此f(x)在(0,1)上恒为0.
再由于f(x)连续，因此在两个端点函数值也为0.

综上，在[0,1]内f(x)≡0

追问

f(x)>0不是只能说明∫f(x)dx在区间内是增函数么，怎么能得出∫(a,b) f(x)dx>0这个结论呢？

追答

定积分的性质，只要上限大于下限，那么被积函数大于0就能推出积分结果大于0.
你查一下定积分的性质。