Question

求解一道三重积分的高数题

求锥面z=3-√(3x^2+3y^2)与球面z=1+√(1-x^2-y^2)所围成立体的体积

Answer 1

两个方程联立，消去z得x^2+y^2=3/4，所以立体在xoy面上的投影区域是D：x^2+y^2≤3/4。用柱面坐标，立体表示为：0≤θ≤2π，0≤ρ≤√3/2，1+√(1-ρ^2)≤z≤3-√3ρ
体积V＝∫∫∫ dv＝∫(0到2π) dθ ∫(0到√3/2)ρdρ ∫ (1+√(1-ρ^2)到3-√3ρ) dz＝2π∫(0到√3/2) ρ(2-√3ρ-√(1-ρ^2) dρ＝π/6