计算二重积分：∫[0,1]dx∫[0,x^½]e^(-y²/2)dy
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解：原式=∫<0,1>dy∫<y²,1>e^(-y²/2)dx (作积分顺序变换)
=∫<0,1>(1-y²)e^(-y²/2)dy
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-∫<0,1>y²e^(-y²/2)dy
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-{[-ye^(-y²/2)]│<0,1>+∫<0,1>e^(-y²/2)dy} (应用分部积分法)
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-[-e^(-1/2)+∫<0,1>e^(-y²/2)dy]
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy+e^(-1/2)-∫<0,1>e^(-y²/2)dy
=e^(-1/2)
=1/√e。
=∫<0,1>(1-y²)e^(-y²/2)dy
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-∫<0,1>y²e^(-y²/2)dy
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-{[-ye^(-y²/2)]│<0,1>+∫<0,1>e^(-y²/2)dy} (应用分部积分法)
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy-[-e^(-1/2)+∫<0,1>e^(-y²/2)dy]
=∫<0,1>e^(-y²/2)dy+e^(-1/2)-∫<0,1>e^(-y²/2)dy
=e^(-1/2)
=1/√e。
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