Question

如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上

OA=5,OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD折叠，使点O落在BC边上的点E处，求E、D两点的坐标
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0 <t<5），过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N,求四边形PMNE的面积S和时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标。

Answer 1

（1）设直线DE的解析式为:y=kx+b

∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），

∴   b= 3       

      6k+b=0

      6k+3=0

          6k=-3

            k=-0.5

得 k=-0.5  b=3  

∴y =-0.5x+3                                      

∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，

∴ 点M的纵坐标为2．

又 ∵ 点M在直线y=-0.5x+b上，

∴-0.5x+b =2     

∵ b=3

∴ x = 2．

∴ M（2,2）．                                                

（2）∵y=m/x（x＞0）经过点M（2，2），

∴ m=4

∴. y=4/x             

又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），

∴点N的横坐标为4．

∵ 点N在直线y=-0.5x+b上， 

∴ y=1

∴ N（4，1）． 

∵ 当x=4时，y = 1，

∴点N在函数  的图象上．                       

（3）4≤ m ≤8